Calculada uma estimativa pontual de um parâmetro como avaliar a qualidade dessa estimativa?
Não é possível! Apenas podemos avaliar estimadores pontuais.
Complementar uma estimativa pontual de um parâmetro com um intervalo de valores que, com maior “confiança”, contenha o valor desconhecido do parâmetro numa população.
Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de uma população \(N(\mu,\sigma^2)\) em que o valor de \(\sigma^2\) é conhecido.
Já vimos que
\[\bar{X}\sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\iff\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)\]
Começamos por fixar o nível de confiança, \(0<\gamma<1\).
Determinemos \(a\) e \(b\) tais que
\[P\left( a\leq\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\leq b\right) =\gamma\]
Como a solução não é única é necessário introduzir um critério adicional.
Se tomarmos, por mera conveniência, \(a=-b\) temos então que \(b=\Phi^{-1}\left(\frac{1+\gamma}{2}\right)\).
Resolvendo as duas desigualdades anteriores em ordem a \(\mu\):
\[P\left( \bar{X}-b\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+b\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =\gamma\]
\[\therefore IAC_{\gamma}(\mu)=\left[\bar{X}-b\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\, \bar{X}+b\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\]
Para \(\gamma=0.95\) tem-se \(b=\Phi^{-1}(0.975)=1.96\) e
\[IAC_{0.95}(\mu)=\left[\bar{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\, \bar{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\]
Suponhamos que \(\sigma=3\), \(n=30\) e \(\bar{x}=11.273\). Fazendo os cálculos obtém-se
\[IC_{0.95}(\mu)=\left[10.199,\, 12.347\right].\]
Será correto afirmar que \[P(10.199\leq\mu\leq 12.347)=0.95?\]
Não!!!
O que há de geral no exemplo inicial?
\(\implies\) Método da variável fulcral ou método pivotal
Uma função da amostra aleatória e do parâmetro de interesse, \(\theta,\) que não depende de quaisquer outros parâmetros com valores desconhecidos e cuja distribuição é completamente conhecida diz-se uma variável fulcral ou pivô para o parâmetro \(\theta\).
E se o valor de \(\sigma^2\) for também desconhecido?
Neste caso usamos outra variável aleatória,
\[ \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)},\]
que é uma variável fulcral para \(\mu\) que não depende de \(\sigma^2\).
A construção de intervalos de confiança segue os mesmos passos do exemplo anterior.
IC para a variância de uma população normal
Para \(\sigma^2\) podemos usar a variável fulcral
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi_{(n-1)}^2\]
Como anteriormente, determinemos \(a\) e \(b\) tais que
\[P\left(a\leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\leq b \right)=\gamma,\, \mathrm{para}\, 0<\gamma<1.\]
Uma solução – intervalo central ou de caudas iguais:
\(P\left(a\leq \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\leq b \right)=\) \(P\left(\frac{(n-1)S^2}{b}\leq \sigma^2\leq\frac{(n-1)S^2}{a} \right)=\gamma\)
\[IAC_{\gamma}(\sigma^2)=\left[\frac{(n-1)S^2}{b},\, \frac{(n-1)S^2}{a} \right]\]
Parâmetros de populações não normais uniparamétricas
Em geral, a obtenção de variáveis fulcrais não é fácil!
Com amostras grandes pode ser suficiente o cálculo de intervalos com níveis de confiança aproximados recorrendo, por exemplo, ao Teorema do Limite Central.
Sendo \(\mu=E[X]\) de uma população genérica, podemos usar a variável fulcral
\[ \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\stackrel{a}{\sim} N(0,1)\]
para construir IC’s para o valor esperado de uma qualquer distribuição desde que o tamanho da amostra seja suficientemente grande.
Alternativa mais geral
Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de uma população com distribuição \(f_X(x;\theta)\), com \(n\) suficientemente grande, e \(S_n=\sum_{i=1}^nX_i\). Pelo T. L. C. temos que
\[\frac{S_n-E[S_n]}{\sqrt{Var[S_n]}}=\frac{\bar{X}-E[\bar{X}]}{\sqrt{Var[\bar{X}]}}=\frac{\bar{X}-E[X]}{\sqrt{\frac{Var[X]}{n}}}\stackrel{a}{\sim}N(0,1)\]
Uma vez que \(E[X]\) e \(Var[X]\) dependem de \(\theta\) a variável anterior pode ser usada como uma variável fulcral aproximada para \(\theta\).
Uma população de Bernoulli
Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma amostra aleatória de uma população com distribuição \(Ber(p)\). Para \(n\) suficientemente grande temos então
\[\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\stackrel{a}{\sim}N(0,1)\]
Fixado \(0<\gamma<1\) então com \(a=\Phi^{-1}\left(\frac{1+\gamma}{2} \right)\) tem-se
\[P\left(-a\leq\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\leq a \right)\approx\gamma\]
Uma solução mais simples
Pode-se mostrar ainda que
\[\frac{\bar{X}-p}{\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}}\stackrel{a}{\sim}N(0,1)\]
Com esta variável fulcral aproximada tem-se
\[IAC_{\simeq\gamma}(p)=\left[\bar{X}-a\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}},\, \bar{X}+a\sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}} \right],\]
com \(a=\Phi^{-1}\left(\frac{1+\gamma}{2} \right)\).