Soma de exponenciais independentes
O que vimos atrás sobre a função de distribuição generaliza-se facilmente para o estudo simultâneo de duas variáveis aleatórias.
Seja \((X_1,X_2)\) uma variável aleatória bidimensional. Então \[F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=P(X_1\leq x_1, X_2\leq x_2),\, \forall (x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2\] diz-se a função de distribuição conjunta de \((X_1, X_2)\).
Algumas propriedades
\(F_{X_1,X_2}(x_1+\Delta_{x_1},x_2+\Delta_{x_2})\geq F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\), \(\forall \Delta_{x_1}, \Delta_{x_2}\geq 0\)
\(\lim_\limits{x_1,x_2\rightarrow +\infty}F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=1\)
\(\lim_\limits{x_i\rightarrow -\infty}F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=0\)
\(\lim_\limits{x_i\rightarrow +\infty}F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=F_{X_j}(x_j)\), com \(i\neq j\)
Seja \((X_1,X_2)\) uma variável aleatória bidimensional discreta. Então \[f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=P(X_1= x_1, X_2= x_2),\, \forall (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\] diz-se a função de probabilidade conjunta de \((X_1,X_2)\).
Notas
\(f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\geq 0\), \(\forall (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2\)
\(\sum\limits_{x_1}{\sum\limits_{x_2}{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}}=1\)
Ases e figuras
Tiram-se duas cartas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Sejam \(X\) o número de figuras (reis, damas ou valetes) e \(Y\) o número de ases obtidos.
Determine a função de probabilidade conjunta do par aleatório \((X,Y)\).
Calcule os valores da função de distribuição conjunta nos pontos (0,1.5) e (3,1).
Ases e figuras (continuação)
| \(Y\backslash X\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | \(\frac{105}{221}\) | \(\frac{72}{221}\) | \(\frac{11}{221}\) |
| 1 | \(\frac{24}{221}\) | \(\frac{8}{221}\) | 0 |
| 2 | \(\frac{1}{221}\) | 0 | 0 |
Nota
Não confundir a função de probabilidade conjunta (definida em \(\mathbb{R}^2\)) com a sua representação abreviada na tabela acima!
Seja \((X_1,X_2)\) uma variável aleatória bidimensional contínua. A função \[f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=\frac{\partial^2 F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{\partial x_1 \partial x_2},\] \(\forall (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2\) onde \(F_{X_1,X_2}\) é diferenciável, diz-se a função densidade de probabilidade conjunta de \((X_1,X_2)\).
Notas
\(f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\geq 0\), \(\forall (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2\)
\(\int_\limits{\mathbb{R}}{\int_\limits{\mathbb{R}}{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\, dx_2}\, dx_1}=1\)
Seja \((X_1,X_2)\) uma variável aleatória bidimensional. Então \[f_{X_i}(x_i)=\sum_{x_j}{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}\left(=\int_{\mathbb{R}}{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\, dx_j}\right),\] com \(i\neq j\) e \(\forall x_i\in\mathbb{R}\), diz-se a função (densidade) de probabilidade marginal de \(X_i\).
Seja \((X_1,X_2)\) uma variável aleatória bidimensional. Então \[f_{X_i|X_j=x_j}(x_i)=\frac{f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{f_{X_j}(x_j)},\]\(\forall x_i\in\mathbb{R}\, \text{e}\, \forall x_j\in\mathbb{R} : f_{X_j}(x_j)>0\), diz-se a função (densidade) de probabilidade condicional de \(X_i\) dado \(X_j=x_j\) para \(i\neq j\).
Duas variáveis aleatórias, \(X\) e \(Y\), dizem-se independentes se para todo \(A,\, B \subset \mathbb{R}\) os acontecimentos \(X\in A\) e \(Y\in B\) são independentes, isto é, se \[P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B).\]
Teorema As variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) são independentes se e só se \[F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y),\, \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2.\]
Teorema As variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) são independentes se e só se \[f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\,f_{Y}(y),\, \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2.\]
Qual o efeito da independência sobre as distribuições condicionais das variáveis aleatórias?
Valor esperado de uma função de um par aleatório
Teorema Sejam \(X\) e \(Y\) duas variáveis aleatórias. O valor esperado de uma função \(g(X,Y)\), caso exista, é dado por \[E[g(X,Y)]=\begin{cases} \sum\limits_x{\sum\limits_y{g(x,y)\;f_{X,Y}(x,y)}},&\text{(discreto)}\\[0.2cm] \int\limits_{\mathbb{R}}{\int\limits_{\mathbb{R}}{g(x,y)\;f_{X,Y}(x,y)\, dy}\, dx},&\text{(contínuo)} \end{cases}\]
Teorema Sendo \(X\) e \(Y\) duas variáveis aleatórias então \[E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y],\,\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\] ou seja, o valor esperado é um operador linear.
Teorema Se \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias independentes então \[E[g(X)\;h(Y)]=E[g(X)]\;E[h(Y)],\] para quaisquer funções \(g\) e \(h\).
Covariância e coeficiente de correlação linear
A covariância de \(X\) e \(Y\), caso exista, é definida por \[Cov[X,Y]=E\left[(X-E[X])(Y-E[Y])\right]\]
Interpretação da covariância
Algumas propriedades da covariância
\(Cov[X,X]=Var[X]\)
\(Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]\;E[Y]\)
Teorema Se \(X\) e \(Y\) são variáveis aleatórias independentes então \[Cov[g(X),h(Y)]=0,\] para quaisquer funções \(g\) e \(h\).
O coeficiente de correlação linear de Pearson entre \(X\) e \(Y\) é definido por \[Corr[X,Y]=\frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{Var[X]Var[Y]}}\]
Algumas propriedades do coeficiente de correlação linear
\(Corr[X,Y]=\pm 1 \iff Y=aX+b\), com \(a \neq 0\) e \(b\in\mathbb{R}\)
\(Corr[aX,Y+b]=\frac{a}{|a|}\, Corr[X,Y]\), \(a\neq 0\) e \(b\in\mathbb{R}\)
Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma sucessão de variáveis aleatórias. Uma combinação linear dessas variáveis é uma variável aleatória \(Y\) definida por \[Y=\sum_{i=1}^{n}{c_i\, X_i},\, \text{com}\, (c_1,\ldots,c_n)\in \mathbb{R}^n.\]
Algumas propriedades
\(Cov\left[ \sum_\limits{i=1}^{m}{c_i\, X_i},\sum_\limits{j=1}^{n}{d_j\, Y_j}\right] =\sum_\limits{i=1}^{m}{\sum_\limits{j=1}^{n}{c_i\, d_j\, Cov[X_i,Y_j]}}\)
\(Var[Y]=\sum_\limits{i=1}^{n}{c_i^2\, Var[X_i]}+2\sum_\limits{i=1}^{n}{\sum_\limits{j>i}{c_i\, c_j\, Cov[X_i,X_j]}}\)
Teorema Sejam \(X_i\sim Bi(n_i,p)\), \(i=1,\ldots,n\), variáveis aleatórias independentes. Então \[Y=\sum_{i=1}^{n}{X_i}\sim Bi\left(\sum_{i=1}^{n}{n_i},p\right).\]
Teorema Sejam \(X_i\sim Poi(\lambda_i)\), \(i=1,\ldots,n\), variáveis aleatórias independentes. Então \[Y=\sum_{i=1}^{n}{X_i}\sim Poi\left(\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i}\right).\]
Teorema Sejam \(X_i\sim N\left(\mu_i,\sigma_i^2\right)\), \(i=1,\ldots,n\), variáveis aleatórias independentes. Então \[Y=\sum_{i=1}^{n}{c_iX_i}\sim N\left(\sum_{i=1}^{n}{c_i\mu_i},\sum_{i=1}^{n}{(c_i\sigma_i)^2}\right).\]
Em geral, não é fácil determinar a distribuição da soma de uma sucessão de variáveis aleatórias independentes!
Uma sucessão de variáveis aleatórias \(X_1,\ldots,X_n\), com funções de distribuição \(F_1,\ldots,F_n\), converge em distribuição para uma variável aleatória \(X\) \(\left(X_n\stackrel{\mathcal{D}}{\rightarrow}X\right)\), quando \(n\rightarrow+\infty\), se \(F_n\rightarrow F_X\) em todo o ponto de continuidade de \(F_X\).
Teorema do limite central Seja \(X_1,\ldots, X_n,\ldots\) uma sucessão de variáveis aleatórias não correlacionadas e identicamente distribuídas com valor esperado e variância finitos. Sendo \(S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\), então, quando \(n\rightarrow+\infty\), \[Z_n=\frac{S_n-E[S_n]}{\sqrt{Var[S_n]}}\stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}Z\sim N(0,1)\]
Notas
\(Var[S_n]=\sum_\limits{i=1}^{n}Var[X_i]=nVar[X]\);
Para \(n\) suficientemente grande, \[P\left(\frac{S_n-E[S_n]}{\sqrt{Var[S_n]}}\leq x \right) \simeq \Phi(x)\]
Soma de exponenciais independentes
Uma aplicação do TLC
Sejam \(X_i\sim Ber(p)\), \(i=1,\ldots,n\), variáveis aleatórias independentes e \(S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i.\)
Tem-se que \(E[S_n]=np\), \(Var[S_n]=np(1-p)\) e, pelo TLC,
\[\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\stackrel{\mathcal{D}}{\longrightarrow}N(0,1).\]
Note-se que \(S_n\sim Bi(n,p)\). Então, para \(n\) suficientemente grande \[S_n\stackrel{a}{\sim} N(np,np(1-p)).\]