Funções de probabilidade geométricas
Seja \(X\) uma variável aleatória que toma valores em \(D=\left\lbrace x_1,\ldots,x_n\right\rbrace\). Se esses valores forem equiprováveis então diz-se que a variável tem uma distribuição uniforme discreta no conjunto \(D\). \[X\sim U(\left\lbrace x_1,\ldots,x_n\right\rbrace)\iff f_X(x)= \begin{cases} 1/n, & x\in D \\[0.2cm] 0, & x\notin D \end{cases}\]
Uma experiência aleatória com apenas dois resultados diz-se um ensaio ou prova de Bernoulli.
Seja \[X=\begin{cases} 1, & \text{se ocorreu um sucesso} \\[0.2cm] 0, & \text{se não ocorreu um sucesso} \end{cases}\]
A distribuição de \(X\) fica definida se conhecermos a probabilidade de “sucesso”, \(0<p<1\). Então, \[f_X(x)= \begin{cases} p,& x=1\\[0.2cm] 1-p,& x=0\\[0.2cm] 0, & \text{c. c.} \end{cases}= \begin{cases} p^x(1-p)^{1-x},& x\in\{0,1\}\\[0.2cm] 0, & \text{c. c.} \end{cases}\]
Nas condições anteriores diz-se que a variável aleatória \(X\) tem uma distribuição de Bernoulli ou \(X\sim Ber(p)\), com \(0<p<1\).
\(E[X]=E[X^2]=p\)
\(Var[X]=p(1-p)\)
Uma prova de Bernoulli isolada é um caso pouco interessante. No entanto, muitas situações de interesse prático podem ser descritas como sequências de provas desse tipo.
Consideremos uma experiência aleatória que consiste numa sequência de realizações independentes de uma prova de Bernoulli com probabilidade de sucesso \(p\).
Seja \(X=\) “número de sucessos em \(n\) realizações independentes da prova”.
Qual a distribuição de \(X\)?
Temos então que
\[f_X(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x},\, x=0,1,\ldots,n\]
Nas condições anteriores diz-se que a variável aleatória \(X\) tem uma distribuição binomial ou \(X\sim Bi(n,p)\), com \(n\in \mathbb{N}\) e \(0<p<1\).
Funções de probabilidade binomiais – Bi(20,p)
Notas
\(X=\sum_{i=1}^n{X_i}\) onde \(X_i\sim Ber(p)\) indica o resultado da \(i\)-ésima realização
\(E[X]=np\) e \(Var[X]=np(1-p)\)
Se \(X\sim Bi(n,p)\) representar o número de sucessos numa experiência aleatória do tipo referido, qual a distribuição do número de insucessos na mesma experiência, \(Y\)? E qual a relação entre as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\)?
Tiro ao alvo
Um teste de escolha múltipla é formado por 10 questões com 4 alíneas das quais apenas uma está certa. Considere que alguém responde a todas as questões ao acaso:
Qual a probabilidade de responder acertadamente a pelo menos metade das questões?
Qual é o número mais provável de respostas certas?
Consideremos de novo a última experiência aleatória considerada: uma sequência de realizações independentes de uma prova de Bernoulli com probabilidade de sucesso \(p\).
Seja \(X=\) “número de realizações da prova até ao primeiro sucesso”.
Qual a distribuição de \(X\)?
Temos então que
\[f_X(x)=(1-p)^{x-1}p,\, x=1,2,\ldots\]
Nas condições anteriores diz-se que a variável aleatória \(X\) tem uma distribuição geométrica ou \(X\sim Geo(p)\), com \(0<p<1\).
Funções de probabilidade geométricas
\[f_X(x)=(1-p)^{x-1}p,\, x=1,2,\ldots\]
Notas
\(E[X]=\frac{1}{p}\) e \(Var[X]=\frac{1-p}{p^2}\)
\(F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<1 \\[0.2cm] 1-(1-p)^k, & k\leq x<k+1,\, k\in\mathbb{N} \end{cases}\)
Amnésia da distribuição geométrica
\(X\sim Geo(p)\Rightarrow P(X>i+j\mid X>i)=P(X>j),\)
\(\forall i,j=1,2,\ldots\)
Suponhamos que se está interessado em contar as ocorrências de um dado fenómeno ao longo do tempo.
Seja \(N(t)=\)“número de ocorrências em \([0,t]\)”, para \(t>0\), e admitamos que:
\(N(0)=0\),
\(E[N(t)]=\lambda t\), para algum \(\lambda \in \mathbb{R^+}\).
Admitamos também que \(\exists n\in \mathbb{N}\) tal que, sendo
\(X_i\)=“número de ocorrências em \(\left]\frac{(i-1)}{n}t, \frac{i}{n}t\right]\)”, \(i=1,\ldots, n\),
se tem:
\(X_i\sim Ber\left(p\right)\);
\(X_i\) independente de \(X_j\), \(\forall i\neq j\).
Note-se que \(N(t)=\sum_{i=1}^n{X_i}\) e, consequentemente.
\[N(t)\sim Bi\left(n, p\right)\]
Então, para que \(E[N(t)]=\lambda t\) deve-se ter:
\(p=\frac{\lambda t}{n}\) e
\(n>\lambda t\)
Esta versão com \(n\) finito não acrescentaria nada, mas
\[\lim_{n\rightarrow +\infty}f_{N(t)}(x)= e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^x}{x!},\ x\in \mathbb{N}_0.\]
Notas
\(e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^x}{x!}>0,\,\forall x\in\mathbb{N}_0, \forall \lambda \in \mathbb{R}^+, \forall t \in \mathbb{R}^+\);
\(\sum_\limits{x=0}^{+\infty}{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^x}{x!}}=1\), \(\forall \lambda \in \mathbb{R}^+, \forall t \in \mathbb{R}^+\);
O processo de contagem atrás esboçado chama-se um processo de Poisson.
Seja \(X\) a variável aleatória que representa o número de ocorrências de um fenómeno por unidade de tempo (comprimento, área, . . .). Diz-se que \(X\) tem uma distribuição de Poisson ou \(X\sim Poi(\lambda)\), com \(\lambda\in\mathbb{R}^+\) quando \[f_X(x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!},\, x=0,1,\ldots\] em que \(\lambda\) é a taxa média de ocorrências por unidade de tempo.
Funções de probabilidade de Poisson
Se \[f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\leq x\leq b\\[0.2cm] 0, & \text{caso contrário} \end{cases}\] então diz-se que \(X\) tem uma distribuição uniforme contínua no intervalo \(\left[ a,b\right]\) ou \(X\sim U(a,b)\), com \(a<b\in\mathbb{R}\).
Notas
\(E[X]=\int_{a}^b{x\frac{1}{b-a}\, dx}=\frac{a+b}{2}\)
\(Var[X]=\frac{(b-a)^2}{12}\)
Se \[f_X(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x\geq 0\\[0.2cm] 0, & x<0 \end{cases}\] então diz-se que \(X\) tem uma distribuição exponencial ou \(X\sim Exp(\lambda)\), com \(\lambda >0\).
Notas
\(F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\ \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\, dt= 1-e^{-\lambda x}, & x\geq 0\end{cases}\)
\(E[X]=\frac{1}{\lambda}\) e \(Var[X]=\frac{1}{\lambda^2}\)
Amnésia da distribuição exponencial
\(X\sim Exp(\lambda)\Rightarrow\)
\(\Rightarrow P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s),\, \forall s, t\geq 0\)
Teorema Seja \(X\) uma variável aleatória que representa o número de ocorrências por unidade de tempo (comprimento, área, etc.) de um qualquer fenómeno e \(Y\) uma outra variável aleatória que representa o tempo entre ocorrências sucessivas.
Se \(X\sim Poi(\lambda)\) então \(Y\sim Exp(\lambda)\).
Nota
O teorema anterior também se aplica se a variável aleatória \(Y\) representar o tempo até à primeira ocorrência do fenómeno.
A ver navios . . .
O tempo em horas entre chegadas sucessivas de veleiros a uma marina é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor esperado 6.
Sabendo que o último veleiro chegou há mais de 2 horas, calcule a probabilidade de se passar um período de mais de 8 horas sem qualquer nova chegada.
Calcule a probabilidade de chegarem 2 ou mais veleiros num período de 8 horas.
Se \[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\lbrace -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2 \right\rbrace,\, x\in\mathbb{R} \] então diz-se que \(X\) tem uma distribuição normal ou gaussiana ou \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\), com \(\mu\in\mathbb{R}\) e \(\sigma^2>0\).
Notas
\(f_X(\mu-x)=f_X(\mu+x)\), \(\forall x>0\)
\(E[X]=\mu\) e \(Var[X]=\sigma^2\)
Moda \(=\) Mediana \(=\mu\)
Funções densidade de probabilidade gaussianas
Teorema Se \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) e \(Y=aX+b\), com \(a\neq0\), então \[Y\sim N\left(a\mu+b,a^2\sigma^2\right)\]
Aplicação
Sejam \(a=\dfrac{1}{\sigma}\) e \(b=-\dfrac{\mu}{\sigma}\), isto é, \(Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\).
Então \(Y\sim N(0,1)\equiv\) distribuição normal reduzida ou standard.
⭐ As funções \(\Phi(y)=F_Y(y)\) e \(\Phi^{-1}(y)\) encontram-se tabeladas.
No R básico temos acesso a 17 das mais comuns distribuições univariadas e a mais outras duas menos comuns. Todas as funções tem as seguintes formas:
| Função | Descrição |
|---|---|
| pnome(. . .) | função de distribuição |
| dnome(. . .) | função de probabilidade ou densidade de probabilidade |
| qnome(. . .) | inversa da função de distribuição |
| rnome(. . .) | geração de números aleatórios |
em que nome é uma abreviatura do nome usual da distribuição (binom, geom, pois, unif, exp, norm, . . .).
Muitas outras distribuições são disponibilizadas por diversos pacotes (extraDistr, . . .).
Ver https://cran.r-project.org/web/views/Distributions.html
Atenção!
Verificar sempre a definição e a parametrização de qualquer distribuição disponível no R.
Simulação
A simulação de sistemas sujeitos a variações aleatórias é fundamental em muitas áreas científicas.
Em qualquer simulação é central a geração de números pseudo-aleatórios:
números gerados por algum algoritmo determinista, e que,
uma vez gerados, escapam aos melhores esforços para se detetarem padrões.
Cada réplica de uma experiência de simulação nas mesmas condições iniciais produz resultados diferentes.
Tiragens
O comando sample permite simular tiragens de um qualquer conjunto, com ou sem reposição.
10000 lançamentos de um dado cúbico equilibrado
10000 lançamentos de um dado cúbico viciado
Geração de números aleatórios
Gerar conjuntos de valores de dimensão 1000 de
e comparar a distribuição empírica dos valores gerados com as respetivas distribuições teóricas.
n <- 1000
dados <- data.frame(X = rbinom(n, size = 10, prob = 3/4))
teorico <- data.frame(x = 0:10, y = dbinom(0:10, 10, 3/4))
ggplot(dados) +
geom_bar(aes(x = X, y = after_stat(prop)), fill = "lightblue") +
geom_point(data = teorico, aes(x, y), color = "magenta") +
scale_x_continuous(breaks = 0:10) +
labs(title = "Geração de números aleatórios de Bi(10,3/4)") +
theme_light()
n <- 1000
dados <- data.frame(X = rexp(n, 0.5))
func <- function(x) dexp(x, 0.5)
ggplot(dados) +
geom_histogram(aes(x = X, y = after_stat(density)), binwidth = 0.5,
fill = "lightblue", boundary = 0) +
geom_function(fun = func, color = "magenta") +
labs(title = "Geração de números aleatórios de Exp(0.5)") +
theme_light()
